lördag 26 november 2011

Universums struktur kartlagd!

Det här inlägget blir en smula förryckt.

Jag skrev i förra inlägget att guden Enki bestämde tetraedern som livets form. I romanen Slaktare små beskriver animisten Sambarsynd Coria i tjugonde kapitlet hur det levandes tetraeder är speglad i en av sina spetsar mot dödsriket. De döda passerar från livets tetraeder till dödens när det är dags.

Ända sedan jag beskrev tetraedrarna så har jag funderat över om man skulle kunna fylla rymden med tetraedrar i ett regelbundet mönster, hur det mönstret skulle se ut och om två av dem verkligen skulle hamna spets mot spets såsom jag beskrev. Ett sådant mönster skulle kunna användas som metafor för flera andra parallella världar och ge en vägledning till hur dessa förhåller sig till varandra. Jag hade lite svårt att se det hela framför mig och är heller inte tillräckligt skicklig med 3D-program för att skissa i rymden. Efter vaga funderingar runt modeller med piprensare och lera så inspirerades jag av tetrapaks teknik och kom på att jag enkelt kunde göra tetraedrar av toapappersrullar och en häftapparat. De gick sedan att limma ihop med Karlssons klister till större strukturer.

Nu är problemet löst! Jag har funnit att tjugo tetraedrar kan klistras ihop till en ikosaeder, dvs en tjugosidig tärnings form. Den översta och understa tetraedern kommer dessutom att verkligen spegla varandra men med en vridning på 60° vilket jag kan acceptera. Se översta bilden där tetraedern med solen är livet och den med månen är döden. Ikosaedern kan sedan byggas på med fler tetraedrar i obegränsat rymdmönster.

Några sidoobservationer: Vid varje spets i mönstret möts inte mindre än tjugo tetraedrar - dvs världar. Man kan tänka sig att en magiker i Timatia kan vinna tillgång till alla dessa tjugo världar genom att känna till noden. Detta gäller emellertid vid varje hörn. Varje tetraeder ligger därtill yta mot yta med fyra andra och längs varje kant samsas fem tetraedrar. I ikosaedern sedd mot en spets bildar fem tetraedrar en perfekt pentagon vari det gyllene snittet kan inritas via ett pentagram. De esoteriska möjligheterna är alltså närmast obegränsade!

Jag blev riktigt upplivad och som ni ser följde mina hundar med intresse det matematiska arbetet. Det kan ha berott på att jag brukar gömma godis åt dem inne i toapappersrullar men jag föredrar att se dem som pudelkloka. Schrödingers katt släng dig i väggen - om du fortfarande lever!

18 kommentarer:

Birkebeineren sa...

Genialiskt och självklart! Jag ser namnet Granström foga sig till storheter som Demokritos, Copernicus och Newton. Och det med hjälp av toarullar och Karlssons klister! :)

Anonym sa...

(Varning : Kommentaren beskriver något lite matematik, vilket kan medföra lätt yrsel.)

20 trianglar kan i tre dimensioner passas ihop till en ikosaeder
vilken är den av de 5 regelbundna polyedrarna med det största antalet sidor. (En regelbunden polyeder måste byggas av sidor som är regelbundna polygoner (alla likadana), och samma antal måste mötas i varje hörn).
Tetraedern är som bekant den regelbundna polyeder med det minsta antalet sidor (4).

(Den kan i förbigående nämnas att de gamla grekerna associerade fyra av de fem regelbundna polyedrarna till läran om de fyra elementen. Den femte, dodekaedern, associerades med etern. WP-Sidan om de Platonska kropparna nämner detta något.)

Hexaedern (kuben) är lite speciell bland dessa i och med att man kan fylla ett tre-dimensionellt rum perfekt med (oändligt) många hexadrar. (Om vi inte begränsar oss till regelbundna polyedrar, så kan dock romb-dodekaedern göra samma sak.)

Man kan alternativt tänka på de regelbundna polyedrarna (och inte bara dem, förresten) som ett sätt att dela in en sfärisk yta i sektorer, med "kanter" (som följer klotets yta).

Om man bara ser till ytan på en sfär så kan man se den som ett exempel på ett (två-dimensionellt) (låtsas-)universum, som är oändligt, d.v.s. utan ände/gräns, men som ändå är begränsat, i bemärkelsen att den har ändlig area.

Om vi nu går till ett fyr-dimensionellt rum, istället för ett tre-dimensionellt, så visar det sig att det finns sex regelbundna polykorer
(vilket är "motsvarigheten" i fyra dimensioner till de regelbundna polygoner i tre dimensioner : (0) punkten; (1) sträckan; (2) de regelbundna polygonerna (oändligt många); (3) de regelbundna polyedrarna (5 stycken); (4) de regelbundna polykorerna (6 stycken); o.s.v. -- i alla senare (finita) dimensioner är antalet regelbundna polytoper (den generella termen) alltid 3 stycken).

Så, nu undrar vi, har några av de sex regelbundna polykorerna tetraedrar som "sidor" (de är egentligen "volymer"/"celler", ibland kallade "facetter" med mer generell term) ?

Det visar sig att tre av dem är uppbyggda av tetraedrar :
Pentakoren ("hypertetraedern") består av fem tetraedrar.
Hexadekakoren ("hyperoktaedern") består av sexton tetraedrar.
Hexakosikoren ("hyperikosaedern") består av sexhundra(!) tetraedrar.

Man kan tänka på alla dessa som ett sätt att dela in volymen ("ytan") på ett fyr-dimensionellt hyperklot i tre-dimensionella sektorer. Minns att hyperklotet begränsas av en ändlig volym (jfr. hur det tre-dimensionella klotet begränsas av en ändlig yta), så t.ex. hexakosikoren har en ändlig begränsnigs-volym, bestående av de sexhundra tetraedrarna.

Angående att försöka passa ihop (regelbundna) tetraedrar i en "vanlig" tre-dimensionell rymd (med oändlig volym, d.v.s. den är obegränsad), så märker man att tetraedrarna inte passar riktigt, det blir ett visst (inte så stort) "glapp" till en början, men försöker man lägga till fler tetraedrar utanpå så blir glappet allteftersom större.

(forts. i nästa kommentar)

Anonym sa...

(forts. från förra kommentaren)

Samma fenomen uppträder i två dimensioner t.ex. om man försöker passa ihop (regelbundna) pentagoner (femhörningar) i ett plan, det blir ett visst glapp, utöver de tre som får plats runt varje hörn. Man kan emellertid "vika" upp pentagonerna i den "tredje dimensionen", och då får man en dodekaeder där tolv pentagoner får plats.

På liknande sätt kan man "vika in" tetraedrarna i "den fjärde dimensionen" så att glappet försvinner, och då får man hexakosikoren.

De tre övriga regelbundna polykorerna är :
Vår kära gamla vän oktakoren ("hyperkuben", tesserakten) som består av åtta vanliga hexaedrar (kuber).
Ikositetrakoren ("hyperoktaedern") som består av tjugofyra oktaedrar.
Hekatonikosakoren ("hyperdodekaedern") som består av hundratjugo dodekaedrar.

Men ikosaedern då, undrar vän av ordning, vad blir det av den ?
Tyvärr så är rymdvinkeln i varje hörn på en ikosaeder för stor för att man ska "få plats" med några ikosaedrar i "pusslet" :(
(Vän av kaos glädjs dock åt rikedomen och överraskningen.)

Bland dessa sex så kan oktakoren (hyperkuben/tesserakten) fylla (tessellera) ett fyr-dimensionellt rum perfekt (kanske inte så förvånande, jfr. kuben/hexagonen samt kvadraten), men ikositetrakoren kan också tessellera den fyr-dimensionella rymden !

Till sist, regelbundna polytoper är inte allt, det finns även stjärn-polyedrar, semi-regelbundna polyedrar, kvasi-regelbundna polyedrar (delvis överlappande taxa) (och troligen fler därtill). Den kan också vara roligt att leta runt på The Geometry Junkyard's avdelning för polytoper, eller varför inte slumpvandra med Mathworld's sida för hexakosikoren som utgångspunkt ?

-- Stefan
(Ännu inte diagnostiserad) matematik-galning

Anonym sa...

Jag gillar tanken på glapp i Stefans matematik. Vad kan skönjas där månne, säkert monster (fantastik sorten eller Lakatos varitet). Att variera tetraedernas storlek borde väl vara en möjlighet för att fylla ut håligheter och annat. Visuella "Bevis". /t

Erik Granström sa...

Stefan: En imponerande sammanställning väl värd en föreläsning i biblioteksparken i Tricilve, men vi med anlag för yrsel vill gärna se bevis i form av toapappersskulpturer.

Anonym sa...

Allt hänger ihop...
Enligt de senaste rönen inom kosmologin är vårt universum en dodekaeder, dvs samma form som en T12:a
http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/3175352.stm

Mats Å

Erik Granström sa...

Mats: Snart visar det sig att alltsammans är ett rollspel för att minska gudarnas tristess, precis som jag trodde.

skymandr sa...

Tyvärr går det bara nästan att bygga en ikosaeder av regelbundna tetraedrar, det blir alltid glimpor kvar (jag har försökt - det kändes så självklart att det skulle gå, att jag inte ens räknade på det först, vilket hade sparat mig en hel del frustration...). Det går heller inte att fylla rummet med regelbundna tetraedrar, som det går att fylla planet med trianglar, men med en kombination av tetraedrar och oktaedrar går det.

skymandr sa...

Själv byggde jag mina tetraedrar av mjölkkartong. Jag häftade fast kardborreband på dem för att kunna experimentera med rymdstrukturen, och trodde hela tiden att jag gjort för dåliga tetraedrar när jag fick glipor. Sen räknade jag på det. (Kanske kan tetraedrarna gylla rummet utan oktaedrarnas hjälp i Enkis Trakorien? Jag tycker i så fall ännu mer om världen! ;))

Erik Granström sa...

Skymandr: Jag tror att jag måste köpa tjugo fyrsidiga tärningar och klistra ihop dem för att bli klar över detta. Finns det några billigare exakta tetraedrar att skaffa som någon kommer på?

skymandr sa...

T4or är nog det bästa och billigaste, men du behöver bara fem för att övertyga dig om att det inte går, tror jag. (Att sätta ihop till en pentagon -- roligare med fler dock!)

Problemet är besläktat med tätpackning av sfärer: http://en.wikipedia.org/wiki/Close_packing (Den Sierpinski-liknande tetraedern du beskrev i ditt förra inlägg är närmast besläktad med face centered cubic close packing, eller fcc-gittret)

Anonym sa...

Även om Schrödingers katt kanske är död så ser det ut på fotot som om Pavlovs hundar i allra högsta grad lever/Olov

Anders Norén sa...

För en gammal rollspelare är det givetvis suveränt att universum kan liknas vid en T20:a - kungen (eller drottningen) av tärningar!

Erik Granström sa...

Anders och Skymandr: historien har en fortsättning och en ganska bra lösning också tror jag. Tänkte skriva ett nytt blogginlägg om den saken men inte förrän imorgon december eftersom jag redan har skrivit så många inlägg under november.

skymandr sa...

Ser fram emot det!

Anonym sa...

gliporna kanske helt enkelt är "De grå hallarna"...

/mathias

Erik Granström sa...

Mathias: Japp, kolla det nyare inlägget om ett reviderat universum.

Anonym sa...

Det här påminner om när jag själv satt och läste om Piri Reis-kartan.

Om man tänker sig att det finns en dodekaeder, dvs 12 sidor, inom jordklotet, där varje spets finns vid en specifik punkt på ytan, så uppstår ett intressant fenomen.

Om man låter dodekaedern ligga på ett sådant sätt att en spets befinner sig i Paris, en i Mecka, och en vid vardera polen, så kommer ytterligare två att ligga just vid de två markerade punkter i Atlanten som finns med på Piri Reis-kartan. Lite för bra för att vara slump.

Jag roade mig med att testa detta i Google Earth, och det stämde alldeles utmärkt. Övriga punkter befann sig vid förhållandevis ointressanta platser, förutom möjligtvis en i södra Stilla Havet som är ganska nära den punkt på jorden som är allra längst ifrån land.

Jag föredrar av någon anledning den tolvsidiga formen som symbol för jorden. Den tjugosidiga kan gärna få vara universum.